< Перейти в «Материалы»
Признаки делимости чисел
Очень часто на практике нужно понять, делится ли одно число на другое без остатка (нацело) или нет, не выполняя самого деления. Особенно часто это требуется при сокращении дробей. Для этого достаточно знать несколько математических правил, которые нужно запомнить. Существуют основные признаки делимости чисел на 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 25, зная которые можно получить дополнительные признаки делимости на 6, 12, 14, 15, 18 и т.д.
Знак ⋮ используется для обозначения возможности выполнить деление без выполнения самого деления.
На 1 делятся все числа, поэтому в основные признаки делимости я его не включаю.
Основные признаки делимости чисел:
Признак делимости на 2
Если число оканчивается чётной цифрой (0, 2, 4, 6, 8, 10 и т.д.), то оно делится на 2 нацело.
► 47 316 ⋮ 2 (последняя цифра 6 – четная).
► 347 930 ⋮ 2 (последняя цифра нуль).
► 78 427 не делится на 2 (7 - цифра нечетная).
Признак делимости на 3
Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3 нацело.
► 23 538 ⋮ 3 (сумма цифр 2 + 3 + 5 + 3 + 8 = 21 ⋮ 3).
► 486 083 не делится на 3 (сумма цифр 4 + 8 + 6 + 8 + 3 = 29 не делится на 3).
Признак делимости на 4
Если две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4, то и число делится на 4 нацело.
Всякое число, оканчивающееся двумя нулями, представляет собой сумму сотен; например, 4300 есть сумма 43 сотен, а сто делится на 4, поэтому и сумма нескольких сотен тоже будет делиться на 4.
► 46 300 ⋮ 4 (последние две цифры – нули).
► 94 216 ⋮ 4 (две последние цифры 16 ⋮ 4).
► 278 357 не делится на 4 (последние две цифры образуют число 57, не делящееся на 4).
Признак делимости на 5
Если число оканчивается цифрой 5 или 0, то оно делится на 5 нацело.
► 62 895 ⋮ 5 (последняя цифра 5).
► 23 740 ⋮ 5 (последняя цифра 0).
► 93 437 не делится на 5 (последняя цифра 7).
Признак делимости на 7
► 1. Последнюю цифру числа умножить на 2 и полученное произведение вычесть из оставшегося числа без последней цифры. Если получилось число, делящееся на 7, то и число разделится на 7 нацело.
► 483 ⋮ 7 (48 – 3 ∙ 2 = 42 ⋮ 7)
► 3 983 ⋮ 7 (398 – 3 ∙ 2 = 392; 39 – 2 ∙ 2 = 35 ⋮ 7)
► 691 не делится на 7 (69 – 1 ∙ 2 = 67 не делится на 7).
► 2. Разделим число справа налево на грани, по три цифры в каждой, со знаком «+» для нечётных граней и со знаком «–» для чётных. Выполним действия сложения и вычитания. Если получилось число, делящееся на 7, то и число разделится на 7 нацело.
► 58 390 815 ⋮ 7 (815 – 390 + 58 = 483 ⋮ 7)
► 687 234 015 не делится на 7 (15 – 234 + 687 = 468 не делится на 7)
Признак делимости на 8
Если три последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8, то оно делится на 8 нацело.
► 736 000 ⋮ 8 (последние три цифры – нули).
► 346 056 ⋮ 8 (три последние цифры образуют число 56 ⋮ 8).
► 854 451 не делится на 8 (три последние цифры образуют число 451, не делящееся на 8).
Признак делимости на 9
Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9 нацело.
► 241 245 ⋮ 9 (сумма цифр 2 + 4 + 1 + 2 + 4 + 5 = 18 ⋮ 9).
► 943 841 не делится на 9 (сумма цифр 9 + 4 + 3 + 8 + 4 + 1 = 29 не делится на 9).
Признак делимости на 10
Если число оканчивается цифрой 0, то оно делится на 10 нацело.
► 127 230 ⋮ 10 (последняя цифра нуль).
Аналогичные признаки делимости для чисел 100, 1000 и т.д.: если число оканчивается соответствующим количеством нулей, то оно делится на это число нацело.
► 483 000 ⋮ 1 000, а также может делиться и на 10, и на 100.
Признак делимости на 11
► 1. Если сумма цифр, занимающих нечётные места равна сумме цифр, занимающих чётные места (считая слева направо), делится на 11, то и число делится на 11 нацело.
► 1 358 016 ⋮ 11 (1 + 5 + 0 + 6 = 12 и 3 + 8 + 1 = 12; 12 = 12)
► 2. Если разность между суммами цифр, занимающих нечётные и чётные места (считая слева направо) есть число, делящееся на 11, то и число делится на 11 нацело.
► 6 193 627 ⋮ 11 (6 + 9 + 6 + 7 = 28; 1 + 3 + 2 = 6; 28 – 6 = 22, а 22 ⋮ 11)
► 356 238 не делится на 11 (3 + 6 + 3 = 12; 5 + 2 + 8 = 15; 12 – 15 = –3, а число 3 не делится на 11)
Признак делимости на 13
► 1. Последнюю цифру числа умножить на 4 и к полученному произведению прибавить оставшееся число без последней цифры. Если получилось число, делящееся на 13, то и число разделится на 13 нацело.
► 468 ⋮ 13 (46 + 8 ∙ 4 = 78 ⋮ 13)
► 639 не делится на 13 (63 + 9 ∙ 4 = 99 не делится на 13)
► 439 023 ⋮ 13 (43902 + 3 ∙ 4 = 43914; 4391 + 4 ∙ 4 = 4407; 440 + 7 ∙ 4 = 468; 46 + 8 ∙ 4 = 78 ⋮ 13)
► 56 920 не делится на 13 (569 + 2 ∙ 4 = 577; 57 + 7 ∙ 4 = 85 не делится на 13)
► 2. Разделим число справа налево на грани, по три цифры в каждой, со знаком «+» для нечётных граней и со знаком «–» для чётных. Выполним действия сложения и вычитания. Если получилось число, делящееся на 13, то и число разделится на 13 нацело.
► 687 234 015 ⋮ 13 (15 – 234 + 687 = 468 ⋮ 13)
► 58 390 815 не делится на 13 (815 – 390 + 58 = 483 не делится на 13)
Признак делимости на 25
Если две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 25, то и число делится на 25 нацело.
Всякое число, оканчивающееся двумя нулями, представляет собой сумму сотен; например, 2800 есть сумма 28 сотен, а сто делится на 25, поэтому и сумма нескольких сотен тоже будет делиться на 25.
► 357 500 делится на 25 (последние две цифры – нули).
► 532 975 делится на 25 (две последние цифры образуют число 75 ⋮ 25).
► 238 935 не делится на 25 (две последние цифры образуют число 35, не делящееся на 25).
Итак, основные признаки делимости чисел мы знаем, теперь, используя полученные знания, мы можем сформулировать дополнительные признаки делимости составных чисел.
Дополнительные признаки делимости чисел:
Признак делимости на 6
Число 6 состоит из двух взаимно простых множителей: 2 и 3. Если число делится одновременно на каждый из них, то оно делится и на 6 нацело.
► 47 316 ⋮ 6 (⋮ и на 2 и на 3).
► 347 930 не делится на 6 (⋮ 2, но не делится на 3).
► 584 253 не делится на 6 (не делится на 2, но ⋮ 3).
Признак делимости на 12
Число 12 состоит из двух взаимно простых множителей: 3 и 4. Если число делится одновременно на каждый из них, то оно делится и на 12 нацело.
► 67 608 ⋮ 12 (⋮ и на 3 и на 4).
► 29 346 не делится на 12 (⋮ 3, но не делится на 4).
► 73 460 не делится на 12 (не делится на 3, но ⋮ 4).
Заметили некоторую закономерность?
Теперь давайте попробуем сформулировать единый признак делимости для составных двузначных чисел, имеющих два взаимно простых множителя. Запомните, что это правило не работает для чисел, множители которых, не являются взаимно простыми.
Например, число 16 имеет множители: 2 и 8, 4 и 4; ни те, ни другие, не являются взаимно простыми, следовательно, для этого числа данный признак применяться не может.
Признак делимости на 14, 15, 18, 21, 22, 24, 28, 35, 36, 42, 45, 56, 63, 72
Чтобы узнать делится ли число на 14, 15, 18, 21, 22, 24, 28, 35, 36, 42, 45, 56, 63, 72 – нужно найти два взаимно простых множителя. Если число будет делится одновременно на каждый их этих множителей, то и число разделится на произведение этих множителей.
► 24 = 3 ∙ 8 8 359 320 ⋮ 24 (⋮ и на 3, и на 8).
► 24 = 4 ∙ 6 не подходит, т.к. множители не взаимно простые.
► 28 = 4 ∙ 7 1 580 068 ⋮ 28 (⋮ и на 4, и на 7).
Для круглых чисел двузначных чисел можно сформулировать такое правило.
Признак делимости на 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90
Если число оканчивается на 0 и делится на первую цифру (количество десятков: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), то оно разделится на 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 соответственно.
► 1 574 040 ⋮ 30 (оканчивается на 0 и 1 + 5 + 7 + 4 + 4 = 21 ⋮ 3).
► 629 954 750 ⋮ 50 (оканчивается на 0 и ⋮ 5).
► 378 170 не делится на 90 (оканчивается на 0, но 3 + 7 + 8 + 1 + 7 = 26 не делится на 9).
Рассмотрим ещё несколько признаков делимости составных и простых чисел.
Признак делимости на 16
Если четыре последние цифры нули или образуют число, делящееся на 16, то и число делится на 16 нацело.
► 724 510 000 ⋮ 16 (последние четыре цифры – нули).
► 349 460 048 ⋮ 16 (48 ⋮ 16).
► 532 900 056 не делится на 16 (56 не делится на 16).
Признак делимости на 17
Последнюю цифру числа умножим на 12 и к полученному произведению прибавим оставшееся число без последней цифры. Если получилось число, делящееся на 17, то и число разделится на 17 нацело.
► 88 553 ⋮ 17 (8855 + 3 ∙ 12 = 8891; 889 + 1 ∙ 12 = 901; 90 + 1 ∙ 12 = 102; 10 + 2 ∙ 12 = 34 ⋮ 17)
► 74 309 не делится на 17 (7430 + 9 ∙ 12 = 7538; 753 + 8 ∙ 12 = 849; 84 + 9 ∙ 12 = 192; 19 + 2 ∙ 12 = 43 не делится на 17)
Признак делимости на 19
Последнюю цифру числа умножим на 2 и к полученному произведению прибавим оставшееся число без последней цифры. Если получилось число, делящееся на 19, то и число разделится на 19 нацело.
► 80427 ⋮ 19 (8042 + 7 ∙ 2 = 8056; 805 + 6 ∙ 2 = 817; 81 + 7 ∙ 2 = 95; 9 + 5 ∙ 2 = 19 ⋮ 19)
► 13 917 не делится на 19 (1391 + 7 ∙ 2 = 1405; 140 + 5 ∙ 2 = 150; 1 + 5 ∙ 2 = 11 не делится на 19)
Признак делимости на 23
Последние две цифры числа умножим на 3 и к полученному произведению прибавим оставшееся число без последних двух цифр. Если получилось число, делящееся на 23, то и число разделится на 23 нацело.
► 99 245 ⋮ 23 (992 + 45 ∙ 3 = 1127; 11 + 27 ∙ 3 = 92 ⋮ 23)
► 28 849 не делится на 23 (288 + 49 ∙ 3 = 435; 4 + 35 ∙ 3 = 109; 1 + 9 ∙ 3 = 28 не делится на 23)
Признак делимости на 27
► 1. Разделим число справа налево на грани, по три цифры в каждой и найдём их сумму. Если получилось число, делящееся на 27, то и число разделится на 27 нацело.
► 1 223 910 ⋮ 27 ( 1 + 223 + 910 = 1 134; 1 + 134 = 135 ⋮ 27).
► 363 485 не делится на 27 (363 + 485 = 848 не делится на 27)
► 2. Последнюю цифру числа умножить на 8 и полученное произведение вычесть из оставшегося числа без последней цифры. Если получилось число, делящееся на 27, то и число разделится на 27 нацело.
► 2 538 ⋮ 27 (253 – 8 ∙ 8 = 189; 18 – 9 ∙ 8 = –54 ⋮ 7)
► 65 741 не делится на 27 (6574 – 1 ∙ 8 = 6566; 656 – 6 ∙ 8 = 608; 60 – 8 ∙ 8 = –4 не делится на 27)
Признак делимости на 37
► 1. Разделим число справа налево на грани, по три цифры в каждой и найдём их сумму. Если получилось число, делящееся на 37, то и число разделится на 37 нацело.
Следует заметить, что любое число, состоящее из трёх одинаковых цифр, делится на 37.
► 57 091 ⋮ 37 (57 + 091 = 148 ⋮ 37)
► 279 609 ⋮ 37 (279 + 609 = 888 ⋮ 37)
► 361 424 не делится на 37 (361 + 424 = 785 не делится на 37)
► 2. Последнюю цифру числа умножим на 7, предпоследнюю – на 4, оставшиеся – на 3. Сложим последние два произведения и вычтем первое. Если получилось число, делящееся на 37, то и число разделится на 37 нацело.
► 13 468 ⋮ 37 ( 134 ∙ 3 + 6 ∙ 4 – 8 ∙ 7 = 370; 3 ∙ 3 + 7 ∙ 4 – 0 ∙ 7 = 37 ⋮ 37
► 88 104 не делится на 37 (881 ∙ 3 + 0 ∙ 4 – 4 ∙ 7 = 2615; 26 ∙ 3 + 1 ∙ 4 – 5 ∙ 7 = 47 не делится на 37)
Признак делимости на 59
Последнюю цифру числа умножим на 6 и к полученному произведению прибавим оставшееся число без последней цифры. Если получилось число, делящееся на 59, то и число разделится на 59 нацело.
► 531 ⋮ 59 (53 + 1 ∙ 6 = 59 ⋮ 59)
► 486 не делится на 59 (48 + 6 ∙ 6 = 84 не делится на 59)
► 139 889 ⋮ 59 (139 88 + 9 ∙ 6 = 14042; 1404 + 2 ∙ 6 = 1416; 141 + 6 ∙ 6 = 177; 17 + 7 ∙ 6 = 59 ⋮ 59
► 173 179 не делится на 59 (17317 + 9 ∙ 6 = 17371; 1737 + 1 ∙ 6 = 1743; 174 + 3 ∙ 6 = 192; 19 + 2 ∙ 6 = 31 не делится на 59)
Признак делимости на 79
Последнюю цифру числа умножим на 8 и к полученному произведению прибавим оставшееся число без последней цифры. Если получилось число, делящееся на 79, то и число разделится на 79 нацело.
► 632 ⋮ 79 (63 + 2 ∙ 8 = 79 ⋮ 79)
► 715 не делится на 79 (71 + 5 ∙ 8 = 111 не делится на 79)
► 365 928 ⋮ 79 (36592 + 8 ∙ 8 = 36656; 3665 + 6 ∙ 8 = 3713; 371 + 3 ∙ 8 = 395; 39 + 5 ∙ 8 = 79 ⋮ 79)
► 621 014 не делится на 79 (62101 + 4 ∙ 8 = 62133; 6213 + 3 ∙ 8 = 6237; 623 + 7 ∙ 8 = 679; 67 + 9 ∙ 8 = 139; 13 + 9 ∙ 8 = 85 не делится 79)
Признак делимости на 99
Разделим число справа налево на грани, по две цифры в каждой и найдём их сумму. Если получилось число, делящееся на 99, то и число разделится на 99 нацело.
► 5 405 598 ⋮ 99 (5 + 40 + 55 + 98 = 198; 1 + 98 = 99 ⋮ 99)
► 2 414 287 не делится на 99 (2 + 41 + 42 + 87 = 172 не делится на 99)
Признак делимости на 125
Если три последние цифры нули или образуют число, делящееся на 125, то и число делится на 125 нацело.
► 628 000 ⋮ 125 (последние три цифры – нули)
► 354 129 875 ⋮ 125 (последние три цифры образуют число 875 ⋮ 125)
► 476 045 225 ⋮ не делитяс на 125 (последние три цифры образуют число 225, не делящееся на 125)
Я постаралась познакомить вас со многими, но не всеми признаками делимости натуральных чисел.
Надеюсь эта информация поможет вам не только в решении примеров и задач, но и в обычной жизни пригодится.